Question

设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=[7/2]，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+[1/2]≤f（x）≤2

Answer 1

解题思路：先由已知条件求出f（x）的解析式，然后证明x²+[1/2]≤f（x）≤2x²+2x+[3/2]对一切实数x都成立即可．

由f（1）=[7/2]，得a+b+c=[7/2]．令x²+[1/2]=2x²+2x+[3/2]⇒x=-1．

由f（x）≤2x²+2x+[3/2]推得f（-1）≤[3/2]，

由f（x）≥x²+[1/2]推得f（-1）≥[3/2]，

∴f（-1）=[3/2]．

∴a-b+c=[3/2]．故a+c=[5/2]且b=1．

∴f（x）=ax²+x+[5/2]-a．

依题意ax²+x+[5/2]-a≥x²+[1/2]对一切x∈R都成立，

∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．

由a-1＞0得a=[3/2]．

∴f（x）=[3/2]x²+x+1．

证明如下：[3/2]x²+x+1-2x²-2x-[3/2]=-[1/2]x²-x-[1/2]=-[1/2]（x+1）²≤0．

∴[3/2]x²+x+1≤2x²+2x+[3/2]对x∈R都成立．

∴存在实数a=[3/2]，b=1，c=1，

使得不等式x²+[1/2]≤f（x）≤2x²+2x+[3/2]对一切x∈R都成立．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，难度一般，关键是先求出f（x）的解析式再证明．