Question

已知数列{an}是首项为-1，公差d≠0的等差数列，且它的第2、3、6项依次构成等比数列{bn}的前3项．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是首项为-1，公差d≠0的等差数列，

且它的第2、3、6项依次构成等比数列{b_n}的前3项，

∴a32＝a2•a6，即（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），

解得d=0（舍）或d=2，

∴a_n=2n-3．

（2）由题意知b₁=a₂=1，b₂=a₃=3，

∴q=

b2

b1=3，

∴bn＝3n−1，

∴c_n=a_n•b_n=（2n-3）•3^n-1，

∴S_n=（-1）•3⁰+1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1，①

3S_n=（-1）•3+1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ，②

①-②，得：

-2S_n=-1+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n-3）•3ⁿ

=-1+2×

3(1−3n−1)

1−3-（2n-3）•3ⁿ

=-4+（-2n+4）•3ⁿ，

∴Sn＝(n−2)•3n+2．