Question

己知,O,G,H分别为△abc的外心,重心,垂心,求证:O,G,H三点共线,且GH=2OG

Answer 1

用平面向量的方法来证明,设O（0,0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,0）,G（（x1+x2+x3）/3,（y1+y2）/3）,点H坐标为（x0,y0）,

所需求证的命题转化为：向量OH与向量OG共线,其充要条件为

x0*(y1+y2)=y0*(x1+x2+x3) -------------------------------------①,

由于O为外心,故有x1*x1+y1*y1=x2*x2+y2*y2=x3*x3

故有(x2-x1)*(x2+x1)=(y2-y1)*(y2+y1),

代入①式化简得：（x1+x2）*(x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1))=x3*y0*(y1-y2)----④

由AH垂直于BC,BH垂直于AC,数量积分别为0,得方程组：

（x0-x1）*(x3-x2)+(y0-y1)*(-y2)=0,-------------------------②

（x0-x2）*(x3-x1)+(y0-y2)*(-y1)=0,-------------------------③

③-②得：x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1)=x3*(x2-x1)

带入④式化简得：x3*y0*(y1-y2）=x3*（x2-x1）*(x2+x1)

问题转化为证明y0=y1+y2