解题思路:(1)甲获得这次比赛胜利,包括甲以3:1获胜和甲以3:2获胜,而前两种情况是互斥的,根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式,列出算式,得到结果.
(2)比赛结束时比赛的局数为X,则X的可能取值是3、4、5,当X=3时,乙获得比赛胜利,当X=4时,甲和乙都有可能胜利,包括甲第2、3、4局都胜,或是乙,第2、3局胜一局,第4局一定胜,当X=5时,乙胜的具体情况为:第一场乙胜,后面三场里只有一场胜,有两场输,最后一场胜.
(1)设甲获胜为事件A,则甲获胜包括甲以3:1获胜(记为事件A1)和甲以3:2获胜(记为事件A2),且事件A1,A2为互斥事件,
∴P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=(
2
3)3+
C23(
2
3)2×
1
3×
2
3=
8
27+
8
27=
16
27.
答:甲获得这次比赛胜利的概率为[16/27].
(2)随机变量X的所有可能取值为3,4,5,
随机变量的分布列为
P(X=3)=(
1
3)2=
1
9,
P(X=4)=[8/27+
C12×
1
3×
2
3×
1
3]=[4/9],
P(X=5)=[8/27+
C13×
2
3×(
1
3)2×
1
3=
4
9].
∴随机变量X的数学期望为E(X)=3×
1
9+4×
4
9+5×
4
9=
13
3.
点评:
本题考点: 互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列.
考点点评: 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识.