Question

如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交CB的延长线于F，连接EF，取EF的中点P，连接AP

Answer 1

解题思路：（1）根据正方形的四条边都相等求出AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=2DE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式进行计算即可求出DE，然后根据

S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，然后列式计算即可得解；

（2）连接CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AP=[1/2]EF，CP=[1/2]EF，然后求出AP=CP，然后利用“边边边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，再求出∠ABP=45°，根据等腰直角三角形的性质求出∠APF=90°，然后三角形的内角和等于180°列式整理即可得证．

（1）∵正方形ABCD的边AB=2，

∴AD=AB=2，

∵∠DAE=30°，

∴AE=2DE，

在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，

即2²+DE²=（2DE）²，

解得DE=

2

3

3，

∴S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，

=2²-[1/2]×

2

3

3×2，

=4-

2

3

3；

（2）证明：如图，连接CP，

∵P是EF的中点，AF⊥AE，∠BCE=90°，

∴AP=[1/2]EF，CP=[1/2]EF，

∴AP=CP，

在△ABP和△CBP中，

∵

AP＝CP

AB＝CB

BP＝BP，

∴△ABP≌△CBP（SSS），

∴∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBP=45°，

∵CP=FP=[1/2]EF，

∴∠BFP=∠BCP，

∴∠BFP=∠BAP，

在△BFP中，∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，综合题，但难度不大，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．