Question

已知等差数列{an}的公差d＞0，设{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2•S3=36．

Answer 1

（Ⅰ）由a₁=1，S₂•S₃=36得，

（a₁+a₂）（a₁+a₂+a₃）=36，

即（2+d）（3+3d）=36，化为d²+3d-10=0，

解得d=2或-5，

又公差d＞0，则d=2，

所以S_n=na1+

n(n−1)

2•d=n²（n∈N^*）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=1+2（n-1）=2n-1，

由a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=65得，

(k+1)(am+am+k)

2＝65，

即（k+1）（2m+k-1）=65，

又m，k∈N^*，则（k+1）（2m+k-1）=5×13，或（k+1）（2m+k-1）=1×65，

下面分类求

当k+1=5时，2m+k-1=13，解得k=4，m=5；

当k+1=13时，2m+k-1=5，解得k=12，m=-3，故舍去；

当k+1=1时，2m+k-1=65，解得k=0，故舍去；

当k+1=65时，2m+k-1=1，解得k=64，m=-31，故舍去；

综上得，k=4，m=5．