Question

一道三角几何问题：过等腰直角三角形ABC的直角顶点C向中线BD作垂线交斜边于E,连接DE,求证：∠ADE=∠CDB

Answer 1

证明：过 B 作BF ⊥ AC 于 F ,设BF与CD相交于点M.

∵ AB=BC,∠ABC=90°

∴ △ABC 是等腰直角三角形

∴ ∠A = 45°

在 △DBC 中,

∵ ∠DBC = 90°

∴ ∠CDB + ∠BCD = 90° ------------------- ①

∵ BE ⊥ CD

∴ ∠CDB + ∠DBE = 90° -------------------- ②

由 ① ② 知：∠BCD = ∠DBE

即：∠BCM = ∠ABE

∵ AB = BC,BF ⊥ AC

∴ ∠ABF = ∠CBF = 45° （等腰三角形底边上的高平分顶角）

∴ ∠CBM = 45°

在 △CBM 和 △BAE 中

∠CBM = ∠A = 45°

CB = BA

∠BCM = ∠ABE （已证）

∴△CBM ≌ △BAE （ASA）

∴ BM = AE

在△BDM 和 △ADE 中

BM = AE

∠A = ∠DBM = 45°

BD = AD

∴△BDM ≌ △ADE （SAS）

∴∠BDM = ∠ADE

即：∠CDB = ∠ADE