Question

求该矩阵的特征值和特征向量!非常感谢!

Answer 1

|A-λE| =

1-λ 1 1 1

1 1-λ -1 -1

1 -1 1-λ -1

1 -1 -1 1-λ

ri+r1,i=2,3,4

1-λ 1 1 1

2-λ 2-λ 0 0

2-λ 0 2-λ 0

2-λ 0 0 2-λ

c1-c2-c3-c4

-2-λ 1 1 1

0 2-λ 0 0

0 0 2-λ 0

0 0 0 2-λ

= -(2+λ)(2-λ)^3.

所以,A的特征值为 2,2,2,-2.

A-2E=

-1 1 1 1

1 -1 -1 -1

1 -1 -1 -1

1 -1 -1 -1

-->

1 -1 -1 -1

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(A-2E)X=0 的基础解系为:a1=(1,1,0,0)',a2=(1,0,1,0)',a3=(1,0,0,1)'

所以A的属于特征值2的全部特征向量为 c1a1+c2a2+c3a3,c1,c2,c3 不全为0

A+2E =

3 1 1 1

1 3 -1 -1

1 -1 3 -1

1 -1 -1 3

-->

1 0 0 1

0 1 0 -1

0 0 1 -1

0 0 0 0

(A+2E)X=0的基础解系为 a4=(-1,1,1,1)'

所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 c4a4,c4为任意非零常数.