Question

设函数f（x）在区间[0，1]上连续，且f（x）＞0，记I1=∫10f（x）dx，I2=∫π20f（sinx）dx，I3

Answer 1

解题思路：利用变换t=sinx，u=tanx，将I₂、I₃转化为区间[0，1]上的积分，比较被积函数的大小，即可得到I₁、I₂、I₃三者之间的大小关系．

设t=sinx，0≤x≤[π/2]，

则dt=cosx dx，

从而，dx=[dt/cosx]=

dt

1−t2，

故I₂=

∫

π

20f(sinx)dx=

∫10

f(t)

1−t2dt．

设u=tanx，0≤x≤[π/4]，

则du=[dx

cos2x=

dx

1+u2，

故I₃=

∫

π/40f(tanx)dx=

∫10

f(u)

1+u2du．

因为积分值与积分变量无关，故

I₂=

∫10

f(t)

1−t2dt=

∫10

f(x)

1−x2dx，

I₃=

∫10

f(u)

1+u2du=

∫10

f(x)

1+x2dx．

因为f（x）＞0，

故当0＜x＜1时，

f(x)

1−x2]＞f（x）＞

f(x)

1+x2．

由定积分的保序性质可得，

I₂＞I₁＞I₃．

故选：B．

点评：

本题考点： 定积分的基本性质；定积分的换元积分法．

考点点评： 本题考查了利用定积分的基本性质比较积分值大小的方法，解题的关键是将I1、I2、I3转化为∫10•dx的形式，然后利用定积分的保序性质即得三者之间的大小关系．