Question

数学三角函数 角形ABC中,SIN A+SIN B=SINC(COSA+COSB) .判断三角形ABC的形状

Answer 1

直角三角形

因为A+B=π-C,所以(A+B)/2=π/2-C/2

而根据和差化积公式,有

sinA+sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]

cosA+cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]

所以代入有2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] =sinC*2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]

两边消去 2cos[(A-B)/2] ,得到

sin[(A+B)/2] =sinC cos[(A+B)/2]

sin(π/2-C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)cos[π/2-C/2]

化简得到

cos(C/2)=2sin(C/2)cos(C/2)sin(C/2)

2（sin(C/2))^2=1

（sin(C/2))^2=1/2

sin(C/2)=根号（1/2）

所以C/2=45度或135度

C=90度（后者超出范围）