解题思路：（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的增区间求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（[α/2]）=-[2/3]求得sin（α+[π/6]）=-[1/3]．结合α∈（0，π），可得α+[π/6]∈（π，[7π/6]），可得cos（α+[π/6]）的值，再由cosα=cos[（α+[π/6]）-[π/6]]利用两角差的余弦公式求得结果．
（Ⅰ）由题意可得A=2，[2π/ω]=π，∴ω=2．
再根据f（x）≤f（[π/6]）对∀x∈R恒成立，可得 2×[π/6]+φ=2kπ+[π/2]，k∈z，
即φ=2kπ+[π/6]，k∈z．
再结合0＜φ＜[π/2]，可得φ=[π/6]，∴f(x)＝2sin(2x+
π
6)．
令2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，求得 kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，
可得函数的增区间为[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]]，k∈z．
（Ⅱ）若f（[α/2]）=-[2/3]，则有 2sin（α+[π/6]）=-[2/3]，即sin（α+[π/6]）=-[1/3]．
结合α∈（0，π），可得α+[π/6]∈（π，[7π/6]），∴cos（α+[π/6]）=-
2
2
3，
∴求cosα=cos[（α+[π/6]
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
考点点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．