已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=3/5,sinα+sinβ=1/2,求cos[(α+β)/2]*sin[

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  • cos[(α+β)/2]*sin[(α-β)/2]=(1/2)·(sinα-sinβ) (用积化和差公式,或把乘式的每一部分按两角和差的正,余弦展开求出);

    sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=2/3,

    sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα=3/5,

    由此二元一次方程组可得

    sinαcosβ=19/30 , sinβcosα=1/30.

    则cosβ·(sinα+sinβ)=sinαcosβ+sinβcosβ=19/30+sinβcosβ=(1/2)·cosβ;

    cosβ=19/15+sin2β; (1)

    cosα·(sinα+sinβ)=sinαcosα+sinβcosα=1/30+sinαcosα=(1/2)·cosα

    cosα=1/15+sin2α. (2)

    (1)+(2)得

    cosα+cosβ=4/3+(sin2α+sin2β)

    =4/3+2sin(α+β)cos(α-β) (和差化积)

    =4/3+2×(2/3)×(4/5)

    =36/15>2,

    因此cos(α-β)≠4/5;

    只能有cos(α-β)=-4/5.

    所以cosα+cosβ=4/3+2×(2/3)×(-4/5)=4/15.

    则(cosα+cosβ)(sinα-sinβ)=sinαcosα-sinβcosβ+sinαcosβ-sinβcosα=(1/2)sin2α-(1/2)sin2β+19/30-1/30

    =(1/2)(sin2α-sin2β)+3/5

    =cos(α+β)sin(α-β)+3/5

    =((正负自己判断一下)√5/3)(3/5)+3/5

    =(±√5+3)/5.

    ∴sinα-sinβ=[(±√5+3)/5] / (cosα+cosβ)=[(±√5+3)/5] / (4/15)=(±3√5+9)/4 ()