Question

已知函数f（x）=ax+x2-xlna-b（a，b∈R，A＞1），e是自然对数的底数．

Answer 1

解题思路：（1）先对原函数求导，研究导数的符号判断原函数的单调性，本题的导函数没办法分解因式等变形，因此研究导函数的单调性，研究导数的最小值判断符号；（2）利用单调性结合零点定理，先利用零点定理大体确定区间，再结合单调性进一步缩小根所在区间，确定整数k的值．

（1）f′（x）=a^xln a+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．

∵a＞1，∴当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，

∴f′（x）＞0，

∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

（2）∵f（x）=e^x+x²-x-4，∴f′（x）=e^x+2x-1，

∴f′（0）=0，

当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）＞0，

∴f（x）是（0，+∞）上的增函数；

同理，f（x）是（-∞，0）上的减函数．

又f（0）=-3＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，

当x＞2时，f（x）＞0，

∴当x＞0时，函数f（x）的零点在（1，2）内，

∴k=1满足条件；

f（0）=-3＜0，f（-1）=[1/e]-2＜0，

f（-2）=[1/e2]+2＞0，

当x＜-2时，f（x）＞0，

∴当x＜0时，函数f（x）的零点在（-2，-1）内，

∴k=-2满足条件．

综上所述，k=1或-2．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、以及零点定理的应用，属于基础题，难度不大．