Question

设事件AB满足P(A)=1/2,P(B)=1/3且P(A/B)+P(非A/非B)=1,则P(A+B)=? 麻烦帮忙解一下

Answer 1

由P(A|B)+P(非A|非B)=1可以得到事件A和B是独立的,

证明比较复杂,

首先P(A|B)+P(非A|非B)=1,

由条件概率的公式可以知道P(A∩B)|P(B) + P(非A∩非B)|P(非B) =1,

而P(非A∩非B)=P(非(AUB))=1-P(A)-P(B)+P(A∩B) ,

故P(A∩B)|P(B) + (1-P(A)-P(B)+P(A∩B)) | (1-P(B)) =1,

化简得到

P(A∩B)|P(B) + [P(A∩B)-P(A)] | (1-P(B)) =0

即(1-P(B))P(A∩B) + P(B)[P(A∩B)-P(A)] =0

于是P(A∩B) -P(A)P(B) =0

P(A∩B) = P(A)P(B)

所以事件A和B是完全独立的,

于是

P(A+B)=P(A)+P(B) -P(A∩B)=1/2+1/3 - 1/2×1/3=2/3