二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足[p/m+2]+[q/m+1]+[r/m]=0,其中m>0,求证:

1个回答

  • 解题思路:(1)把x=[m/m+1]代入原函数,利用题设中p、q、r的关系进一步证明.

    (2)先对p进行分类讨论,再对r进行分类讨论.

    证明:(1)pf([m/m+1])

    =p[p([m/m+1])2+q([m/m+1])+r]

    =pm[

    pm

    (m+1)2+[q/m+1]+[r/m]]

    =pm[

    pm

    (m+1)2-[p/m+2]]

    =p2m[

    m(m+2)−(m+1)2

    (m+1)2(m+2)]

    =p2m[-

    1

    (m+1)2(m+2)].

    由于f(x)是二次函数,故p≠0.

    又m>0,所以pf([m/m+1])<0.

    (2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r.

    ①当p>0时,由(1)知f([m/m+1])<0.

    若r>0,则f(0)>0,又f([m/m+1])<0,

    ∴f(x)=0在(0,[m/m+1])内有解;

    若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(-[p/m+2]-[r/m])+r=[p/m+2]-[r/m]>0,

    又f([m/m+1])<0,

    所以f(x)=0在([m/m+1],1)内有解.

    因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.

    ②当p<0时,同样可以证得结论.

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用.

    考点点评: (1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p≠0,若将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改.

    (2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好的.