解题思路:(1)把x=[m/m+1]代入原函数,利用题设中p、q、r的关系进一步证明.
(2)先对p进行分类讨论,再对r进行分类讨论.
证明:(1)pf([m/m+1])
=p[p([m/m+1])2+q([m/m+1])+r]
=pm[
pm
(m+1)2+[q/m+1]+[r/m]]
=pm[
pm
(m+1)2-[p/m+2]]
=p2m[
m(m+2)−(m+1)2
(m+1)2(m+2)]
=p2m[-
1
(m+1)2(m+2)].
由于f(x)是二次函数,故p≠0.
又m>0,所以pf([m/m+1])<0.
(2)由题意,得f(0)=r,f(1)=p+q+r.
①当p>0时,由(1)知f([m/m+1])<0.
若r>0,则f(0)>0,又f([m/m+1])<0,
∴f(x)=0在(0,[m/m+1])内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)(-[p/m+2]-[r/m])+r=[p/m+2]-[r/m]>0,
又f([m/m+1])<0,
所以f(x)=0在([m/m+1],1)内有解.
因此方程f(x)=0在(0,1)内恒有解.
②当p<0时,同样可以证得结论.
点评:
本题考点: 函数与方程的综合运用.
考点点评: (1)题目点明是“二次函数”,这就暗示着二次项系数p≠0,若将题中的“二次”两个字去掉,所证结论相应更改.
(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中,先对p分类,然后对r分类显然是比较好的.