方向导数
1.设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对于给定的自点P0出发的射线l,在射线上任取一点P(x0+Δx,y0+Δy),点P0到P的距离记为ρ,如果函数f沿射线l的改变量与ρ的比值limρ→0的极限存在,把此极限称为函数f在点(x0,y0)沿方向l的方向导数.记作∂f/∂l|(x0,y0)或∂z/∂l|(x0,y0).
2.三元函数u=f(x,y,z)的方向导数的定义与二元函数类似.
定理1.如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微,则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在,且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ,其中α,β是方向l的方向角.
定理2.如果函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微,则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在,且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ+∂f/∂z*cosγ,其中α,β,γ是方向l的方向角.
梯度：引入单位向量l°=cosαi+cosβj+cosγk 及 向量G=∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk,根据数量积的定义,∂u/∂l=G·l°,可见向量G就是函数f变化率最大的方向向量 ∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk,称为函数f在点P(x,y,z)处的梯度,记为grad u或∇f.
梯度的模为 |grad u|=[(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2]^0.5
“梯度是单位方向导数”不正确.