证明设x1,x2属于R,且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=x1^3-x2^3
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+（x2/2）^2+x2^2-(x2/2)^2)
=（x1-x2）[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4]
由x1＜x2
知x1-x2＜0
又由(x1+x2/2)^2+3x2^2/4＞0（两个完全平方式(x1+x2/2)^2,3x2^2/4不同时为0）
即（x1-x2）[(x1+x2/2)^2+3x2^2/4]＜0
即f(x1)＜f(x2)
知f（x）在R上是增函数.