∫ sin(logx) dx,令u = logx,x = 10^u,dx = 10^u · ln10 du
= (ln10)∫ sinu · 10^u du
∫ sinu · 10^u du = - ∫ 10^u dcosu
= - 10^u · cosu + (ln10)∫ cosu · 10^u du
= - 10^u · cosu + (ln10)∫ 10^u dsinu
= - 10^u · cosu + ln10 · 10^u · sinu - (ln10)²∫ sinu · 10^u du
[1 + (ln10)²]∫ sinu · 10^u du = (10^u)(ln10 · sinu - cosu)
∫ sinu · 10^u du = (10^u)(ln10 · sinu - cosu)/[1 + (ln10)²] + C
==> (ln10)∫ sinu · 10^u du = (ln10)(10^u)(ln10 · sinu - cosu)/[1 + (ln10)²] + C
==> ∫ sin(logx) dx = (xln10)[ln10 · sin(logx) - cos(logx)]/[1 + (ln10)²] + C
∫ e^x · sinx dx = - ∫ e^x dcosx
= - e^x · cosx + ∫ e^x · cosx dx
= - e^x · cosx + ∫ e^x dsinx
= - e^x · cosx + e^x · sinx - ∫ e^x · sinx dx
2∫ e^x · sinx dx = (sinx - cosx)e^x
∫ e^x · sinx dx = (1/2)(sinx - cosx)e^x + C
∫ (logx)² dx
= x(logx)² - ∫ x d(logx)²
= x(logx)² - ∫ x · 2logx · 1/(xln10) dx
= x(logx)² - (2/ln10)∫ logx dx
= x(logx)² - (2/ln10)[xlogx - ∫ x d(logx)]
= x(logx)² - (2xlogx)/ln10 + (2/ln10)∫ x · 1/(xln10) dx
= x(logx)² - (2xlogx)/ln10 + [2/(ln10)²]x + C