Question

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：

Answer 1

解题思路：（1）A为正定阵知，存在可逆阵D，满足A=D^TD，然后代入r（B^TAB）=r（B），从而得证．

（2）注意是充要条件，所以既要从左证到右边，也要从右边证到左边，证法一问相同．

（1）由A为正定阵知，

存在可逆阵D，使得A=D^TD．

故R（B^TAB）=R（B^TD^TDB）

=R[（DB）^T（DB）]

=R（DB）

=R（B）．

（2）由A正定知，

存在可逆阵D，使A=D^TD，

由B^TAB正定⇒B^TAB=（DB）^T（DB）正定⇒DB可逆

⇒B可逆．

由A正定，

B可逆⇒B^TAB=（DB）^T（DB），

再由DB可逆⇒B^TAB正定．

故本题得证．

点评：

本题考点： 判断正定的充要条件；矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 本题主要考查判定矩阵正定的充要条件，存在可逆阵是解答此题需要发现的关键，本题属于基础题．