Question

怎么理解 AX=b的系数矩阵A的行向量组线性无关,则该方程有解

Answer 1

设A是mxn矩阵

由已知,r(A)=m

所以A的列向量组a1,...,an的秩也是m

不妨设 a1,...,am 是A的列向量组a1,...,an的一个极大无关组.

则对任一m维向量b,向量组 a1,...,am,b 线性相关.(1)

故 b 可由 a1,...,am 线性表示 (2)

所以 b 可由 a1,...,an 线性表示

所以 Ax=b 有解.(3)

注:

(1)若向量组的个数大于维数,则向量组线性相关

(2)定理:若 a1,...,as 线性无关,a1,...,as,b 线性相关

则 b 可由 a1,...,as 唯一线性表示

(3) Ax=b 有解 b可由A的列向量组线性表示.