解题思路：（1）函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，由f（0）=0求解a的值；（2）由函数解析式利用指数式和对数式的互化求解x，把x和y互换后得到原函数的反函数，然后利用就行的定义证明奇偶性；（3）由2＜x＜3两边同时乘以-1，再加2后求出2-x的范围，代入F（x）=f-1（x），再利用周期函数的性质得到x∈（2，3）时F（x）的表达式．
（1）∵f（x）=
10x+a
10x+1是奇函数，由f（0）=[1+a/2＝0，得a=-1；
（2）由y=f（x）=
10x+a
10x+1]，
得y•10x+y＝10x−1⇒10x(y−1)＝−1−y⇒10x＝
1+y
1−y＞0，
∴x＝lg
1+y
1−y⇒f−1(x)＝lg
1+x
1−x(−1＜x＜1)．
而f−1(−x)＝lg
1−x
1+x＝−lg
1+x
1−x＝−f−1(x)，
∴f-1（x）在（-1，1）上是奇函数；
（3）因为当-1＜x＜1时，F（x）=f-1（x）
∴当2＜x＜3时，-3＜-x＜-2⇒-3+2＜2-x＜0⇒-1＜2-x＜0
∴2−x∈(−1，0)，F(2−x)＝f−1(2−x)＝lg
1+2−x
1−2+x＝lg
3−x
x−1，
又∵F（x）是以2为周期的奇函数，
∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）⇒−F(x)＝lg
3−x
x−1⇒F(x)＝−lg
3−x
x−1
∴F(x)＝lg
x−1
3−x(2＜x＜3)．
点评：
本题考点： 反函数；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．
考点点评： 本题考查了函数的性质，考查了函数的反函数的求法，训练了指数式和对数式的互化，通过对定义域的变化求解函数解析式是解答该题的关键，是中档题．