Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b，方程g（x）=x有两个不等非零实根x1、x2

Answer 1

（1）由g(x)=

bx-1

a2x+2b=x⇒方程a²x²+bx+1=0（*）有不等实根∴△=b²-4a²＞0及a≠0，⇒|

b

2a|＞1，即-

b

2a＜-1，或-

b

2a＞1

又f（x）的对称轴x=-

b

2a∉(-1，1)

故f（x）在（-1，1）上是单调函数

（2）因x₁、x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0∴bx₁=-a²x₁²-1

同理bx₂=-a²x₂²-1∴f（x₁）=ax₁²+b₁x₁+1=ax₁²-a²x₁²+1=（a-a²）x₁²，同理f（x₂）=（a-a²）x₂²

要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0

f(x1)＜0

f(x2)＜0⇒

a＞0

a-a2＜0⇒a＞1

或

a＜0

f(x1)＞0

f(x2)＞0⇒

a＜0

a-a2＞0⇒ϕ

故a的取值范围a＞1