Question

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：a2-b2c2=sin(A-B)sinC．

Answer 1

解题思路：由余弦定理得到a²，b²的表达式，两者作差整理即

a

2

−

b

2

c

2

＝

acosB−bcosA

c

，再正弦定理将等式右边的a，b，c换成sinA，sinB，sinC来表示，逆用正弦的差角公式即可得出结论．

证明：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，

b²=a²+c²-2accosB，（3分）

∴a²-b²=b²-a²-2bccosA+2accosB整理得

a2-b2

c2=

acosB-bcosA

c（6分）

依正弦定理，有[a/c=

sinA

sinC，

b

c=

sinB

sinC]，（9分）

∴

a2-b2

c2=

sinAcosB-sinBcosA

sinC

=

sin(A-B)

sinC（12分）

点评：

本题考点： 正弦定理；三角函数恒等式的证明；余弦定理．

考点点评： 本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的变形技能．