Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=[π/6]，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且∠

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件推导出CO⊥BO，从而CO⊥平面AOB，由此能证明平面COD⊥平面AOB．

（2）当OD最小时，∠CDO最大，OD⊥AB，垂足为D，由∠CDO最大时三棱锥V_A-CDO的体积V=V_A-BOC-V_D-BOC，能求出结果．

（1）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，

又∵∠BOC=90°，∴CO⊥BO，

又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB，

又CO⊂平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB．

（2）由（1）知，CO⊥平面AOB，

∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，

且tan∠CDO=[OC/OD]=[2/OD]．当OD最小时，∠CDO最大，

这时，OD⊥AB，垂足为D，

∵在Rt△AOB中，∠OAB=[π/6]，斜边AB=4，

∴OD=[OA•OB/AB]=

3，AO=2

3，OB=2，

∵Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且∠BOC=90°，

∴OC=2，AC=4，∠BOD=[π/6]，BD=1，

设D到平面OBC的距离为h，由h=[BD/BA×AO=

3

2]，

∴∠CDO最大时三棱锥V_A-CDO的体积：

V=V_A-BOC-V_D-BOC=[1/3×S△BOC（AO-h）

=

1

3×

1

2]×2×2×（2

3−

3

2）=

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．