已知函数f(x)=x3-3x,x∈R,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为y=g(x),设h(x)=

2个回答

  • 解题思路:(I)因为是高次函数,所以用导数求得函数的切线的方程,即得g(x),从而得到h(x)

    (II)先整理得到h(x)=x3-3x02x+2x03,再求导,由导数的正负来确定其单调性,要注意x0的影响.

    (I)f′(x)=3x2-3,f(2)=2,f′(2)=9

    ∴切线方程为:y-2=9(x-2)

    ∴g(x)=9x-16

    ∴h(x)=x3-12x+16

    (II)设曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为:y=(3x0-3)x-2x03

    ∴g(x)=(3x0-3)x-2x03

    ∴h(x)=x3-3x02x+2x03
    ∴h′(x)=3x2-3x02=3(x-x0)(x+x0

    令h′(x)=3x2-3x02=3(x-x0)(x+x0)<0

    ①当x0>0时,h(x)在(-∞,-x0]是增函数,在[-x0,,x0]是减函数,在[x0,,+∞)是增函数;

    ②当x0<0时,h(x)在(-∞,-x0]是增函数,在[-x0,,x0]是减函数,在[x0,,+∞)是增函数;

    ③当x0=0时,h(x)在(-∞,+∞)是增函数;

    综上:①当x0>0时,h(x)的增区间是:(-∞,-x0],[x0,,+∞),减区间是:[-x0,,x0];

    ②当x0<0时,h(x)的增区间是:(-∞,x0],[-x0,,+∞),减区间是:[x0,,-x0];

    ③当x0=0时,h(x)的增区间是:(-∞,+∞).

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查导数的几何意义及用导数法研究函数的单调性,由于参数的存在,增大了题目的难度,应注意分类讨论.