解题思路：（1）易得一元二次方程的解，让OB-OA，得到直径．
（2）设出正比例函数解析式，连接圆心和切点，NC⊥OM，求得点N坐标，代入正比例函数即可．
（3）△OTN是等腰三角形那么应分OT=ON，OT=TN，TN=ON，三种情况进行分析．
（1）解方程x2-12x+27=0，得x1=9，x2=3，
∵A在B的左侧，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直径为6（1分）．
（2）过N作NC⊥OM，垂足为C，连接MN，则MN⊥ON．
∵sin∠MON=[MN/OM＝
3
6＝
1
2]，
∴∠MON=30°，
又cos∠MON=[ON/OM]，
∴ON=OM×cos30°=3
3；
在Rt△OCN中，
OC=ON•cos30°=3
3×
3
2＝
9
2，
CN=ON•sin30°=3
3×
1
2＝
3
3
2，
∴N的坐标为(
9
2，−
3
3
2)（3分），
（用其它方法求N的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分）．
设直线ON的解析式为y=kx，
∴-
3
3
2=[9/2]k，
∴k=-
3
3，
∴直线ON的解析式为y＝−
3
3x（4分）．
（3）存在．
T1（3
3，0），T2（-3
3，0），T3（9，0），T4（3，0）
如图2，T1，T2，T3，T4为所求作的点，△OT1N，△OT2N，△OT3N，△OT4N为所求等腰三角形．
（每作出一种图形给一分）（8分）．
点评：
本题考点： 切线的性质；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质．
考点点评： 连接圆心和切点，构造直角三角形求解是常用辅助线方法，三角形为等腰三角形，那么任意两边之和相等，应分情况讨论．