Question

如果n阶实对称矩阵A,B的特征多项式相同,则存在正交矩阵Q,使Q^(-1)AQ=B

Answer 1

特征多项式相同,则A,B的特征值相同,都设为

a1,a2,...,an.由于实对称阵必可正交对角化,

即存在正交阵Q1,Q2使得

Q1^(--1)AQ1=D=diag(a1,a2,...,an),

Q2^(--1)BQ2=D=diag(a1,a2,...,an).

令Q=Q1Q2^(--1)是正交阵,则

Q^(--1)AQ=Q2Q1^(--1)AQ1Q2^(--1)

=Q2DQ2^(--1)=B.