Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 1 2 x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OAC

Answer 1

（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=

1

2 NM=2，

∴KO=6，

∴P（6，2）；

（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；

②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4，

∴S=

1

2 （2b-4） ²=2b ²-8b+8，

③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b，

∴S=S _△PMN-S _△ANH=4-2（4-b） ²=-2b ²+16b-28，

④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；

（3）以OM为直径作圆，当直线y=-

1

2 x+b（b＞0）与圆相切时，b=

5 +1，如图（五）；

当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4

设Q（x，b-

1

2 x），因为∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ ²+QM ²=OM ²，

即[x ²+（b-

1

2 x） ²]+[（x-4） ²+（b-

1

2 x） ²]=4 ²，

整理得

5

2 x ²-（2b+8）x+2b ²=0，

5

4 x ²-（b+4）x+b ²=0，

根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4） ²-5b ²≥0，-b ²+2b+4≥0，b ²-2b-4≤0，可以解得 1-

5 ≤b≤1+

5 ，由于b＞0，所以0＜b≤1+

5 ．

故0＜b≤

5 +1；

（4）b的值为4，5， 8±2

6 ．

∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）

当PC=PD时，b=4；

当PC=CD时，b ₁=2（P、C、D三点共线，舍去），b ₂=5；

当PD=CD时，b=8±2

6 ．