Question

如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，D是⊙O上一点，CD是延长线与BA的延长线交于点E，且CD=CB．

Answer 1

解题思路：（1）连接OD，根据SSS证△ODC≌△OBC，推出∠ODC=∠OBC=90°，根据切线的判定定理推出即可；

（2）由切割线定理得出ED²=EA×EB，求出EB长，即可求出⊙O的半径．

（1）证明：连接OD，

在△ODC和△OBC中

CD＝CB

OC＝OC

OD＝OB，

∴△ODC≌△OBC，

∴∠ODC=∠OBC=90°

∴CD是⊙O的切线．

（2）选ED=a，EA=b，

∵CE切⊙O于D，EAB是⊙O的割线，

∴ED²=EA×EB，

∴a²=EBb，

∴EB=

a2

b，

∴OB=[EB−EA/2]=

a2

b−b

2=

a2−b2

2b．

答：⊙O的半径是

a2−b2

2b．

点评：

本题考点： 切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了切线的判定，切割线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，解（1）小题关键是求出∠ODC=90°，方法是连接圆心O和点D，证垂直；解（2）小题的关键是运用切割线定理求出EB长，题目比较典型，难度适中．