Question

（2011•湖南模拟）由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t∈（0，1）所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值

Answer 1

解题思路：由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值

由题意及图象，曲线y=x²和直线y=t²交点坐标是（t，t²）

故阴影部分的面积是∫₀^t（t²-x²）d_x+∫_t¹（-t²+x²）d_x=（t²x-[1/3]x³）|₀^t+（-t²x+[1/3]x³）|_t¹=[4/3t3−t2+

1

3]

令p=[4/3t3−t2+

1

3]，则p′=4t²-2t=2t（2t-1），知p=[4/3t3−t2+

1

3]在（0，1）先减后增，在t=[1/2]时取到最小值，

故面积的最小值是

4

3×(

1

2)3−(

1

2)2+

1

3=[1/4]

故选D

点评：

本题考点： 定积分．

考点点评： 本题考查求定积分，解题的关键是根据图象与函数解析式将面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错．