Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）2+y2=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．

Answer 1

解题思路：（I）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）²+y²=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；

（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据

b∈(-

1

2

，1)

时，即可得到实数k的取值范围．

（Ⅲ）设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，进而把直线与圆方程联立，求得y₂•y₁，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆

S：

x

2

+

y

2

=

1

4

相切．

（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

由题设条件可得x₁x₂+y₁y₂=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，

故有x1+x2=

2+2k

1+k2，x1x2=

1

1+k2，

又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=

k2

1+k2-

2k+2k2

1+k2+1=

1-2k

1+k2

∴

1-2k

1+k2+

1

1+k2=0，得k=1；

（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）

则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1

得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0

则X₁•X₂=

1

k2+1，X₁+X₂=

2(k+1)

k2+1

则

MP=（X₁，kX₁-1-b），

MQ=（X₂，kX₂-1-b）

由MP⊥MQ则

X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0

即

2k2+2k

k2+1=(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(-

1

2，1)，∴

1

2＜b+1＜2，

∴

2k2+2k

k2+1=(b+1)+

1

(b+1)∈[2，

5

2）

解得k≥1，

故实数k的取值范围[1，+∞）

（Ⅲ）∵圆C的方程为（x-1）²+y²=1

设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由|OA|•|OB|=1 x₁²+y₁²•x₂²+y₂²=1-（x₁-1）²+y₁²•1-（x₂-1）²+y₂²=2x₁•2x₂=1⇒x₁x₂=

1

4

又∵

(x-1)2+y2=1

x=ky+1⇒（k²+1）x²+2（kλ-1）y+λ²=0，

∴x1x2=

λ2

k2+1=

1

4⇒

|λ|

k2+1=

1

2，

又原点O到直线AB距离 d=

|λ|

1+k2

∴d=

1

2，即原点O到直线AB的距离恒为 d=

1

2

∴直线AB恒与圆 S：x2+y2=

1

4相切．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，直线与圆的综合应用，（II）中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的综合问题的常用方法，是解答高考压轴题的关键．属难题．