Question

已知命题p：在x∈[1，2]时，不等式x2+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数

Answer 1

解题思路：根据函数导数的符号和函数单调性的关系，以及根据单调性求函数的最值，即可求出命题p，q下的a的取值范围，由p∨q为真知道p为真或q为真，从而求出在这两种情况下a的并集即得a的取值范围．

命题p：由x²+ax-2＞0得a＞

2−x2

x；

令f（x）=

2−x2

x，则f′（x）=

−x2−2

x2＜0，所以函数f（x）在[1，2]上单调递减；

∴

2−x2

x的最大值为f（1）=1，∴a＞1；

命题q：∵函数f（x）=x³+ax在[1，+∞）上是增函数；

∴f′（x）=3x²+a≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≥-3x²，-3x²在[1，+∞）上的最大值为-3，∴a≥-3；

∵p∨q是真命题，∴p真，或q真；

∴a＞1，或a≥-3，∴a≥-3；

∴实数a的取值范围是[-3，+∞）．

点评：

本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据函数单调性求函数最值，p∨q的真假和p，q真假的关系．