Question

已知数列{a n }满足a n+1 =-a n 2 +2a n （n∈N * ），且0＜a 1 ＜1．

Answer 1

（1）证明：①当n=1时，由条件知，成立

②假设n=k成立，即0＜a _k＜1成立，

当n=k+1时，a _k+1=-a _k ²+2a _k=-（a _k-1） ²+1，

∵0＜a _K＜1

∴0＜（a _k-1） ²＜1

∴0＜-（a _k-1） ²+1＜1

∴0＜a _K+1＜1

这就是说，当=k+1时，0＜a _k＜1也成立．

根据①②知，对任意n∈N*，不等式0＜a _n＜1恒成立．

（2）1-a _n+1=（1-a _n） ²，0＜a _n＜1；

lg（1-a _n+1）=lg（1-a _n） ²，，即lg（1-a _n+1）=2lg（1-a _n）

即：b _n+1=2b _n

∴{b _n}是以-1为首项，以2为公比的等比数列．

∴b _n=-2 ^n-1，∴

1

b n = -

1

2 n-1

无究数列{

1

b n }所有项的和为：

1

b 1 +

1

b 2 +…+

1

b n +… =

lim

n→∞ （

1

b 1 +

1

b 2 +…+

1

b n ）=

lim

n→∞ [（-1）×

1- (

1

2 ) n

1-

1

2 ]=-2×

lim

n→∞ （ 1-(

1

2 ) n ）=-2