解题思路:(1)换元法:令t=logax,则x=at,代入函数式可得解析式,利用奇偶函数的定义可判断;
(2)利用函数的奇偶性的定义进行判断,分a>1和0<a<1两种情况进行讨论,利用指数函数的单调性可作出判断;
(3)利用函数的单调性和奇偶性进行求解.
(本题13分)(1)令logax=t则x=at,
∴f(t)=
a
a2−1(at−a−t),
∴f(x)=
a
a2−1(ax−a−t);
(2)∵f(-x)=
a
a2−1(a−x−ax)=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
当a>1时,a-x递减,-a-x递增,ax递增,所以ax-a-x递增,
又
a
a2−1>0,所以f(x)在R上递增;
当0<a<1时,a-x递增,-a-x递减,且ax递减,所以ax-a-x递减,
又
a
a2−1<0,故此时f(x)递增;
综上,当a>0且a≠1时,f(x)在R上递增.
(3)f(1-m)+f(1-2m)<0,
∴f(1-m)<-f(1-2m),
∵f(x)为奇函数,且是增函数
∴f(1-m)<(2m-1)
∴
1−m<2m−1
−1<1−m<1
−1<2m−1<1,
解得:
2
3<m<1.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题考查函数奇偶性、单调性的判断,属中档题.