Question

已知函数f（x）=-22x−a+1．

Answer 1

解题思路：（1）证明点（x，y）关于（a，-1）的对称点为（2a-x，-2-y），也在图象上即可．

（2）化简不等式f（x）≥-2^x为2^2x-a+2^x-2≥0，构造函数h（x）=2^2x-a+2^x-2，f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等价于h（x）≥0，利用导数求出h（x）在[a，+∞）的最小值h（a），解不等式2•2^a-2≥0即可求出a的范围．

（1）证明：假设（x，y）为此函数的一点，那么此点关于（a，-1）的对称点为（2a-x，-2-y），则

f（2a-x）=-

2

22a−x−a+1=-2+

2

2x−a+1=-2-y，

∴点（x，y）关于（a，-1）的对称点为（2a-x，-2-y），也在图象上，

∴f（x）的图象关于M（a，-1）对称；

（2）∵函数f（x）=-

2

2x−a+1，

∴f（x）≥-2^x可化为-

2

2x−a+1≥-2^x，

即2^2x-a+2^x-2≥0，

令h（x）=2^2x-a+2^x-2，

则h′（x）=2^2x-a•2ln2+2^x•ln2

=（2^2x-a•2+2^x）ln2，

∵ln2＞0，

∴h′（x）＞0，

∴函数f（x）=-

2

2x−a+1在[a，+∞）上单调递增，

∴h（x）=2^2x-a+2^x-2≥h（a）=2•2^a-2，

∵f（x）≥-2^x在x≥a上恒成立等价于，

h（a）=2•2^a-2≥0，

∴a≥0，

∴实数a的取值范围是[0，+∞）．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查对称问题，考查导数在求函数最值中的应用，以及恒成立问题的转化，构造函数是解题的关键，属于中档题．