Question

设数列{a n }为等比数列， a 1 = C 2m+3 3m A m-2 1 ，公比q是 (x+ 1 4 x 2 )

Answer 1

（1）由a ₁=

C 3m2m+3 •

A 1m-2 得

2m+3≥3m

m-2≥1 ⇔

m≤3

m≥3 ，

∴m=3，

（2）a ₁=

C 99 •

A 11 =1．

又 (x+

1

4 x 2 ) 4 展开式中第2项T ₂=

C 14 •x ³•（

1

4x 2 ）=x，即公比为x，

∴a _n=x ^n-1，

∴S _n=

n，x=1

1 -x n

1-x ，x≠1 ；

（2）由S _n表达式引发讨论：

（Ⅰ）当x=1时，S _n=n，此时A _n=

C 1n +2

C 2n +3

C 3n +…+n

C nn ，①

又A _n=n

C 0n +（n-1）

C 1n +…+1•

C n-1n ②

∴①+②得2A _n=n（

C 0n +

C 1n +…+

C nn ）=n•2 ⁿ，

∴A _n=n•2 ^n-1．

（Ⅱ）当x≠1时，S _n=

1 -x n

1-x ，此时A _n=

1-x

1-x

C 1n +

1 -x 2

1-x

C 2n +…+

1 -x n

1-x

C nn

=

1

1-x [（

C 1n +

C 2n +…+

C nn ）-（x

C 1n +x ²

C 2n +x ³

C 3n +…+x ⁿ

C nn ）]

=

1

1-x {（2 ⁿ-1）-[（1+x） ⁿ-1]}

=

1

1-x [2 ⁿ-（1+x） ⁿ]．