解题思路：（Ⅰ）y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，等价于f′（x）=x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]2ax+1≥0在[3，+∞）上恒成立，分类讨论，当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0在[3，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，从而可求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=-12时，方程f（1-x）=(1−x)33+bx有实根，等价于b=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，即求g（x）=xlnx+x2-x3的值域．构造h（x）=lnx+x-x2（x＞0），证明h（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，即可得出结论．
（I）因为函数y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
所以f′（x）=
x[2ax2+(1−4a)x−(4a2+2)]
2ax+1≥0在[3，+∞）上恒成立
当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
所以y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意
当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax2+（1-4a）x-（4a2+2）≥0在[3，+∞）上恒成立
令函数g（x）=2ax2+（1-4a）x-（4a2+2），其对称轴为x=1-[1/4a]，
因为a＞0，所以1-[1/4a]＜1，
要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
即g（3）=-4a2+6a+1≥0，
所以
3−
13
4≤a≤
3+
13
4，
因为a＞0，所以0＜a≤
3+
13
4，
综上所述，a的取值范围为[0，
3+
13
4]；
（Ⅱ）当a=-[1/2]时，方程f（1-x）=
(1−x)3
3+[b/x]有实根，等价于b=xlnx+x2-x3在（0，+∞）上有解，
即求g（x）=xlnx+x2-x3的值域．
令h（x）=lnx+x-x2（x＞0），则h′（x）=
(2x+1)(1−x)
x，
∴0＜x＜1时，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时h′（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h（x）≤h（1）=0，
∵x＞0，
∴b=xh（x）≤0，
∴x=1时，b取得最大值0．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，构建函数是关键，也是难点．