Question

1,已知F1F2是双曲线的两个焦点,Q是双曲线上任一点,从某一焦点引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则点P的轨迹是（

Answer 1

(1) 不妨设Q在右支上

延长F2Q,交QF1于M

则QF2=QM

由双曲线的定义

|QF1|-|QF2|=2a

所以 |QF1|-|QM|=|F1M|=2a

三角形MF1F2中,OP是中位线

|OP|=|F1M|/2=a

所以 P 的轨迹是圆

（2）设AB中点横坐标为x0

|AB|≤|AF|＋｜BF｜=e(xA-a²/c)+e(xB-a²/c)=e(xA+xB)-2a=2ex0-2a

2ex0≥2a+|AB|=2a+l

x0≥（2a+l）/(2e)

所以 x0最小值为（2a+l）/(2e)