二次函数:y=ax＾2+bx+c (a.b.c是常数.且a不等于0)
a＞0开口向上
a＜0开口向下
a.b同号.对称轴在y轴左侧.反之.再y轴右侧
|x1-x2|=根号下b＾2-4ac除以|a|
与y轴交点为(0.c)
b＾2-4ac＞0.ax＾2+bx+c=0有两个不相等的实根
b＾2-4ac＜0.ax＾2+bx+c=0无实根
b＾2-4ac=0.ax＾2+bx+c=0有两个相等的实根
对称轴x=-b/2a
顶点(-b/2a.(4ac-b＾2)/4a)
顶点式y=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a
函数向左移动d(d＞0)个单位.解析式为y=a(x+b/2a+d)＾2+(4ac-b＾2)/4a.向右就是减
函数向上移动d(d＞0)个单位.解析式为y=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a+d.向下就是减
当a＞0时.开口向上.抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上).并向上无限延伸,当a＜0时.开口向下.抛物线在x轴下方(顶点在x轴上).并向下无限延伸.|a|越大.开口越小,|a|越小.开口越大.
4.画抛物线y=ax2时.应先列表.再描点.最后连线.列表选取自变量x值时常以0为中心.选取便于计算.描点的整数值.描点连线时一定要用光滑曲线连接.并注意变化趋势.
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a.b.c为常数.a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a.h.k为常数.a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2).其中x1.x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根.a≠0.
说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k.抛物线的顶点坐标是(h.k).h=0时.抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上,当k=0时.抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上,当h=0且k=0时.抛物线y=ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时.即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和
x2存在时.根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).
求抛物线的顶点.对称轴.最值的方法
①配方法:将解析式化为y=a(x-h)2+k的形式.顶点坐标(h.k).对称轴为直线x=h.若a＞0.y有最小值.当x=h时.y最小值=k.若a＜0.y有最大值.当x=h时.y最大值=k.
②公式法:直接利用顶点坐标公式(- .).求其顶点,对称轴是直线x=- .若a＞0.y有最小值.当x=- 时.y最小值= .若a＜0.y有最大值.当x=- 时.y最大值= .
6.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线.是轴对称图形.所以作图时常用简化的描点法和五点法.其步骤是:
(1)先找出顶点坐标.画出对称轴,
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等),
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.