同余类的路径
ZHICONG林,江曾
摘要的数量.令Pn表示无向路径长度为n - 1.确定从的Pn到PK的图形同态诱导的同余类的集合的基数.这解决的一个公开问题的的米歇尔斯和克瑙尔（Disc.数学系,309（2009）5352-5359）.我们的结果是基于一个新的行之有效的路径之间的数目同态.
关键词：图表,曲线图的自同态,图同态,路径,晶格路径
1.介绍
我们使用标准的符号和术语,图论[3]或[6,附录].这里考虑的是有限的图表和指导,没有多条边和循环.我们写的给定图G,V（G）的顶点集和边集E（G）.从曲线图G甲同态到一个图H是一个映射f：V（G）→V（H）,使得相邻顶点的图像相邻.自同态映射的曲线图,从图中本身是一个同态.记磡（G,H）的设置从G到H的同态和结束（G）图G的自同态的集合,我们表示对于任何有限集X | X |新路径的基数n个顶点vi和vj是一个图,它的顶点可以被标记为V1,...,VN,使相邻当且仅当| I - J | = 1;令Pn表示这样的图,用vi = I 1≤I ≤N.每一个自同态f的ĝ诱导
C（PN）表示集合的自同态引起的分区分区ρ为V（G）,也被称为由f诱导的同余类,如果它们具有相同的图像的顶点在同一个街区.的V（Pn）的,并让|ρ|表示的块的数目在一个分区ρ.例如,如果f∈结束（P4）,被定义为F（1）= 3,F（2）= 2,F（3）= 1,F（4）= 2,然后诱导分区ρ是{{1 },{2,4},{3}}和|ρ| = 3.
计数的同态从G到H的问题是难以普遍.然而,一些算法和公式计算同态的路径最近发表的（见[1,2,5]）.特别是米歇尔斯和克瑙尔的[5]给出了一种算法的基础上的epispectrum长盈集团（PN）的路Pn.他们长盈集团（PN）=（L1（N）,...,LN-1（N））,其中
LK（N）= | {ρ∈C（PN）：|ρ| = - K + 1} |.（1.1）
LK（N）的定义[5]一个印刷错误被纠正.
[5]力劲（n）的,米歇尔斯和克瑙尔的第一个值的基础上,推测如下猜想.