Question

在数列{an}中，已知a1=1，an+1-an=sin(n+1)π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2014=__

Answer 1

解题思路：由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2

，得a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2

，运用列举的方法，确定出周期，再求解数列的和即可得到答案．

由a_n+1-a_n=sin

(n+1)π

2，

所以a_n+1=a_n+sin

(n+1)π

2，

∴a₂=a₁+sinπ=1，a₃=a₂+sin[3π/2]=1-1=0，a₄=a₃+sin2π=0，a₅=a₄+sin[5π/2]=0+1=1，∴a₅=a₁=1

可以判断：a_n+4=a_n

数列{a_n}是一个以4为周期的数列，2014=4×503+2

因为S₂₀₁₄=503×（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁+a₂=503×（1+1+0+0）+1+1=1008，

故答案为：1008

点评：

本题考点： 数列与三角函数的综合．

考点点评： 本题考查了函数的性质，与数列的求和相结合的题目，题目不难，但是很新颖．