解题思路：（1）可先考虑临界位置（点M在边BC、DC上），从而得到自变量x的取值范围，然后过点A作AH⊥BC于H，如图3，在Rt△AHP中，运用勾股定理就可求出y与x的关系式．（2）易证△APM∽△ACD，则有APAC=AMAD．由∠PAM=∠CAD得∠PAC=∠MAD，就可得到△APC∽△AMD．（3）由于△APC∽△AMD，因此可将△AMD为等腰三角形的问题转化为△APC为等腰三角形的问题，就可解决问题．
（1）考虑两个临界位置：
①当点M在线段BC上时，如图1．
则∠APB=180°-∠APM=180°-90°=90°．
在RtABC中，
∵∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC=
AB2+AC2=25．
∵S△ABC=[1/2]AB•AC=[1/2]BC•AP，
∴AP=[AB•AC/BC]=[15×20/25]=12．
在RtAPB中，
∵∠APB=90°，AB=15，AP=12，
∴BP=9．
②当点M在线段DC上时，此时点M与点D重合，点P与点C重合，如图2．
则BP=BC=25．
∴当点M在平行四边形内时，x的取值范围是9＜x＜25．
过点A作AH⊥BC于H，如图3．
则有AH=12，BH=9，在Rt△AHP中，
∵∠AHP=90°，AH=12，AP=y，PH=
.
x-9.，
∴122+（x-9）2=y2．
整理得：y2=x2-18x+225．
∵y＞0，∴y=
x2-18x+225．
∴y与x的关系式为y=
x2-18x+225，定义域为9＜x＜25．
（2）存在与△AMD相似的三角形．
理由如下：
如图3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=25，DC=AB=15，AB∥DC．
∴∠ACD=∠BAC=90°．
∴∠APM=∠ACD=90°．
∵∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD．
∴[AP/AC]=[AM/AD]．
∵∠PAM=∠CAD，
∴∠PAC=∠MAD．
∴△APC∽△AMD．
（3）∵△APC∽△AMD，
∴[AP/AM]=[AC/AD]=[PC/MD]．
①若AM=AD，则AP=AC．
此时点P与点C重合，点M与点D重合，
△AMD不存在，故舍去．
②若MA=MD，则PA=PC，如图4．
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠PAC=90°，∠ABC+∠BCA=90°．
∴∠BAP=∠ABC．
∴PA=PB．
∴PB=PC．
∴PB=[1/2]BC=[25/2]．
③若DA=DM，则CA=CP．
Ⅰ．点P在线段BC上，如图5．
则CP=CA=20．
所以PB=BC-CP=25-20=5．
Ⅱ．点P在线段BC的延长线上，如图6．
则CP=CA=20．
所以PB=BC+CP=25+20=45．
综上所述：当△AMD为等腰三角形时，BP的长为[25/2]或5或45．
点评：
本题考点： 相似形综合题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，考查了分类讨论及转化的数学思想，有一定的综合性．