Question

几何 无图 证明E为正方形ABCD的边BC上任意一点,点P在BC的延长线上,CF平分∠DCP,EF⊥AE,求证EF=AE

Answer 1

（1）证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME．

正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,

BE=AB-AE=BC-MC=BM,

∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°．

∵N是∠DCP的平分线上一点,

∴∠DCN=45°,∴∠MCN=135°．

在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,

∴△AEM≌△MCN,

∴AM=MN．

（2）结论AM=MN还成立

证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME．

△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC．

∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,

BE=AB-AE=BC-MC=BM,

∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°．

∵N是∠ACP的平分线上一点,

∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120．

在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,

∴△AEM≌△MCN,

∴AM=MN．