解题思路：根据题意可知：长方体过一个顶点的三个面的面积是6、8、12平方厘米，也就是长方体的底面积是6平方厘米、前面的面积是8平方厘米，侧面的面积是12平方厘米；底面积=长×宽，前面的面积=长×高，侧面的面积=宽×高；长方体的体积=长×宽×高；由此解答．
设长方体的长为a厘米，宽为b厘米，高为h厘米，
由题意可得：
ab=6平方厘米，
ah=8平方厘米，
bh=12平方厘米，
所以：三个式子相乘可得：
（abh）2=6×8×12=576；
abh=24；
而长方体的体积：abh；
所以这个长方体的体积是24立方厘米．
答：这个长方体的体积是24立方厘米．
故选：B．
点评：
本题考点： 长方体和正方体的体积．
考点点评： 此题主要考查长方体的体积计算，解答关键是通过转化，求出长、宽、高的积是多少；再根据体积公式解决问题．