Question

在三角形ABC中,角c是钝角,a*a-b*b=b*c,求角A=2角B

Answer 1

方法1

由余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(bc+c^2)/2ac=(b+c)/2a

在a^2-b^2=bc两边同乘2得2a^2-2b^2=2bc,移项得2b(b+c)=2a^2,再次变换得(b+c)/2a=a/2b,即cosB=a/2b

由正弦定理得sinA/sinB=a/b,所以sinA=sinB*a/b=sinB*2cosB=sin2B,所以A=2B

方法2

延长CA到点D,使得AD=BC 则∠CDB=∠ABD

则AD=c ∠CAB=∠CDB+∠ABD=2∠CDB

CD=b+c

根据a*a-b*b=b*c

有a*a=b*(b+c)

则BC*BC=CD*CA

即CD/CB =CB/CA

△CAB∽△CBD

∠CBA=∠CDB

所以∠CAB=2∠CBA