（1）
证明：
∵矩形ABCD中
AD=BC ∠D=∠B=90° AB‖CD
∴∠DCA=∠CAB
又∵三角形AGH由三角形ADG折叠而得
∴AD=AH GH⊥AC ∠GHA=90°
同理 BC=CF EF⊥AC ∠EFC=90°
∴AH=CF
∴AF=CH
∴在三角形AFE与三角形CHG中
∠FAE=∠HCG
CH=AF
∠AFE=∠CHG
∴三角形AFE≌三角形CHG（ASA）
∴AE=CG
∴四边形AECG为平行四边形
（2）在三角形ABC中
AB=4cm BC=3cm
由勾股定理得 AC=5cm
∵由（1）得
CH=BC=3cm
EF=BE
∴AF=2cm
设EF为Xcm
则AE为(4-X)cm
2的平方+x的平方=(4-x)的平方
x=1.5
即EF为1.5cm
(3)
当平行四边形AECG为菱形时
AE=CE
即三角形AEC为等腰三角形
∵EF⊥AG
∴EF为三角形ACE中AC边上的中线
即AF=FC=二分之一的AC
设BC为y cm
则AC=2y cm
(2y)的平方=3平方+y的平方
y1=根号3 y2=-根号3（舍去）
∴BC=根号3cm