Question

设f1（x）=[2/1+x]，fn+1（x）=f1[fn（x）]，且an=fn(0)−1fn(0)+2，n∈N*，则a2

Answer 1

解题思路：根据f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

f

n

(0)−1

f

n

(0)+2

，可得{a_n}构成以a₁为首项，q=-[1/2]为公比的等比数列，根据f₁（x）=[2/1+x]，可得a₁=

f

1

(0)−1

f

1

(0)+2

=[1/4]，从而可得a_n=[1/4]•（-[1/2]）^n-1，故可求a₂₀₀₉．

∵f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)−1

fn(0)+2

∴a_n=

2−fn−1(0)−1

2+fn−1(0)+2=-[1/2]•

fn−1(0)−1

fn−1(0)+2=-[1/2]a_n-1（n≥2），

∴{a_n}构成以a₁为首项，q=-[1/2]为公比的等比数列．

∵f₁（x）=[2/1+x]，

∴a₁=

f1(0)−1

f1(0)+2=[1/4]

∴a_n=[1/4]•（-[1/2]）^n-1，

则a₂₀₀₉=[1/4]×（-[1/2]）^2009-1=（[1/2]）²⁰¹⁰．

故选A．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查等比数列的判定，考查等比数列的通项，考查函数与数列的结合，判定数列为等比数列是我们解题的关键．