Question

如图，已知△ABC，P为内角平分线AD，BE，CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系，并

Answer 1

解题思路：利用AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，得出∠BAD=[1/2]∠BAC，∠ABE=[1/2]∠ABC，∠BCF=[1/2]∠ACB，再利用三角形的外角意义得出∠BPD=∠BAD+∠ABE等量代换得出∠BPD=90°-[1/2]∠ACB；再利用PG⊥BC，得出三角形CPG是直角三角形，利用三角形的内角和表示出∠CPG=90°-[1/2]∠ACB，证明结论成立．

∠BPD=∠CPG

证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠BAD=[1/2]∠BAC，∠ABE=[1/2]∠ABC，∠BCF=[1/2]∠ACB，

∴∠BPD=∠BAD+∠ABE=[1/2]（∠BAC+∠ABC），

∵∠BAC+∠ABC=180-∠ACB，

∴∠BPD=[1/2]（180-∠ACB）=90°-[1/2]∠ACB；

∵PG⊥BC，

∴∠PGC=90°，

∴∠BCP+∠CPG=180°-∠PGC=90°，

∴∠CPG=90°-∠BCP=90°-[1/2]∠ACB，

∴∠BPD=∠CPG．

点评：

本题考点： 三角形内角和定理．

考点点评： 此题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的意义，垂直的性质等知识点．