设 是任何维的一般旋转矩阵:两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵:这里的 是单位矩阵.一个矩阵是旋转矩阵,当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一.正交矩阵的行列式是 ±1；如果行列式是 1,则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵.旋转矩阵是正交矩阵,如果它的列向量形成 的一个正交基,就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量).任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵 A 的指数:这里的指数是以泰勒级数定义的而 是以矩阵乘法定义的.A 矩阵叫做旋转的“生成元”.旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数,它就是斜对称矩阵的代数.生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到.编辑本段二维空间 在二维空间中,旋转可以用一个单一的角 θ 定义.作为约定,正角表示逆时针旋转.把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 θ 的矩阵是:cosθ -sinθ sinθ cosθ 编辑本段三维空间 在三维空间中,旋转矩阵有一个等于单位一的实特征值.旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理).如果旋转角是 θ,则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ).从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ),这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角.3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵.因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵,得出只用三个是实数就可以指定一个3 维旋转矩阵.生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合.关于右手笛卡尔坐标系的 x-,y- 和 z-轴的旋转分别叫做 roll,pitch 和 yaw 旋转.因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转,它们的生成元很容易表达.绕 x-轴的旋转定义为:这里的 θx 是 roll 角.绕 y-轴的旋转定义为:这里的 θy 是 pitch 角.绕 z-轴的旋转定义为:这里的 θz 是 yaw 角.在飞行动力学中,roll,pitch 和 yaw 角通常分别采用符号 γ,α,和β；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号 θx,θy 和θz.任何 3 维旋转矩阵 都可以用这三个角 θx,θy,和θz 来刻画,并且可以表示为 roll,pitch 和 yaw 矩阵的乘积.是在 中的旋转矩阵 在 中所有旋转的集合,加上复合运算形成了旋转群 SO(3).这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示.更高维的情况可参见 Givens旋转.角-轴表示和四元数表示 在三维中,旋转可以通过单一的旋转角 θ 和所围绕的单位向量方向 来定义.这个旋转可以简单的以生成元来表达:在运算于向量 r 上的时候,这等价于Rodrigues旋转公式：角-轴表示密切关联于四元数表示.依据轴和角,四元数可以给出为正规化四元数 Q:这里的 i,j 和 k 是 Q 的三个虚部.欧拉角表示 在三维空间中,旋转可以通过三个欧拉角 (α,β,γ) 来定义.有一些可能的欧拉角定义,每个都可以依据 roll,pitch 和 yaw 的复合来表达.依据 "z-x-z" 欧拉角,在右手笛卡尔坐标中的旋转矩阵可表达为:进行乘法运算生成:因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转,它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来.对称保持 SVD 表示 对旋转轴 q 和旋转角 θ,旋转矩阵 这里的 的纵列张开正交于 q 的空间而 G 是θ度 Givens 旋转