解题思路:(1)可先证明△ABC≌△DBE,可得DE=AC,又有AC=AF,可得DE=AF,同理可得AD=EF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证四边形ADEF是平行四边形;
(2)如四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°,又有∠BAD=∠FAC=60°,可得∠BAC=150°,故∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;
(3)根据∠BAC=60°时,∠DAF=180°,此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在;
(4)利用菱形的性质与判定得出即可.
证明:(1)∵△ABD,△BCE都是等边三角形,
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE,AB=BD,BC=BE.
在△ABC和△DBE中
AB=BD
∠ABC=∠DBE
BC=BE,
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴DE=AC.
又∵AC=AF,
∴DE=AF.
同理可得EF=AD.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)∵四边形ADEF是平行四边形,
∴当∠DAF=90°时,四边形ADEF是矩形,
∴∠FAD=90°.
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.
则当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;
故答案为:∠BAC=150°;
(3)当∠BAC=60°时,∠DAF=180°,
此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在;
故答案为:∠BAC=60°;
(4)当AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形,
理由是:由(1)知:AD=AB=EF,AC=DE=AF,
∵AC=AB,
∴AD=AF,
∵四边形ADEF是平行四边形,AD=AF,
∴平行四边形ADEF是菱形.
故答案为:AB=AC且∠BAC≠60°(或AB=AC≠BC).
点评:
本题考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.
考点点评: 本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识,熟练掌握相关的定理是解题关键.