如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF

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  • 解题思路:(1)可先证明△ABC≌△DBE,可得DE=AC,又有AC=AF,可得DE=AF,同理可得AD=EF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可证四边形ADEF是平行四边形;

    (2)如四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°,又有∠BAD=∠FAC=60°,可得∠BAC=150°,故∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;

    (3)根据∠BAC=60°时,∠DAF=180°,此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在;

    (4)利用菱形的性质与判定得出即可.

    证明:(1)∵△ABD,△BCE都是等边三角形,

    ∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE,AB=BD,BC=BE.

    在△ABC和△DBE中

    AB=BD

    ∠ABC=∠DBE

    BC=BE,

    ∴△ABC≌△DBE(SAS).

    ∴DE=AC.

    又∵AC=AF,

    ∴DE=AF.

    同理可得EF=AD.

    ∴四边形ADEF是平行四边形.

    (2)∵四边形ADEF是平行四边形,

    ∴当∠DAF=90°时,四边形ADEF是矩形,

    ∴∠FAD=90°.

    ∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.

    则当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;

    故答案为:∠BAC=150°;

    (3)当∠BAC=60°时,∠DAF=180°,

    此时D、A、F三点在同一条直线上,以A,D,E,F为顶点的四边形就不存在;

    故答案为:∠BAC=60°;

    (4)当AB=AC且∠BAC≠60°时,四边形ADEF是菱形,

    理由是:由(1)知:AD=AB=EF,AC=DE=AF,

    ∵AC=AB,

    ∴AD=AF,

    ∵四边形ADEF是平行四边形,AD=AF,

    ∴平行四边形ADEF是菱形.

    故答案为:AB=AC且∠BAC≠60°(或AB=AC≠BC).

    点评:

    本题考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.

    考点点评: 本题考查了等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识,熟练掌握相关的定理是解题关键.